Aritmética de la Computadora

La operación interna de una computadora se basa en la aritmética binaria, en la que la base es el 2 y sólo hay dos símbolos: 0 y 1, pues la memoria de la máquina consiste en un vasto número de dispositivos de registro magnético y electrónico, cada uno de los cuales sólo puede presentar uno de dos posibles estados: magnetizado en un sentido, representando al cero, o magnetizado en el otro sentido, representando al uno.  Cada dispositivo magnético es un dígito binario, denominado bit (abreviatura de "binary digit").

Los bits se agrupan en unidades llamadas palabras, las cuales pueden contener  8, 16, 32 o 64 bits, dependiendo de la computadora de que se trate (los tamaños de palabra más usuales son los de 16 o de 32 bits).  También se utilizan otras unidades denominadas bytes, constituidos generalmente por 8 bits, y utilizados como particiones de palabras, para representar caracteres.  Así, por ejemplo, una palabra de 32 bits consta de 4 bytes.

La manera en que se usan los bits para registrar los números enteros y los números fraccionarios, varía en función del diseño de la computadora 

Representación de un número en un ordenador

La representación de números en un ordenador es necesaria para que éste pueda almacenarlos y manipularlos. Sin embargo, el problema es que un número matemático puede ser infinito (tan grande como se desee), pero la representación de un número en un ordenador debe ocupar un número de bits predeterminado. Por lo tanto, la clave es predeterminar un número de bits y cómo se interpretan para que representen la cifra de la manera más eficiente posible

Representación de un número natural: Un número natural es un número entero positivo o cero. La elección de la cantidad de bits a utilizar depende del intervalo de números que se utilizarán. Para codificar los números naturales entre 0 y 255, todo lo que se necesita son 8 bits (un byte) como 2⁸=256. Por lo general, la codificación de un bit n se puede utilizar para representar números naturales entre 0 y 2ⁿ-1.

Representación de un número entero: Un número entero es un número completo que puede ser negativo. Por lo tanto, el número se debe codificar de manera que se pueda distinguir si es positivo o negativo y de forma que siga las reglas de adición

·        Un número entero o cero se representará en base binaria (base 2) como un número natural, con la excepción de que el bit de mayor peso (aquel que se encuentra más a la izquierda) representa el signo más o menos.

·        Un número entero negativo se codifica utilizando complementos dobles.
El principio de los complementos dobles:
Se elige un número negativo.

• Se toma su valor absoluto (su equivalente positivo)
• Se representa en base binaria utilizando n-1 bits
• Cada bit se cambia con su complemento (es decir, los ceros se reemplazan con unos y viceversa)
• Se suma 1

Representación de un número real: Un número con un punto decimal en sistema binario (por ejemplo, 101.01, que no se lee ciento uno punto cero uno ya que es, de hecho, un número binario, 5,25 en sistema decimal) mediante el formato 1.XXXXX... * 2ⁿ (en nuestro ejemplo, 1.0101*2²). El estándar IEEE 754 define cómo codificar un número real.
Este estándar ofrece una forma de codificar un número utilizando 32 bits, y define tres componentes:

• el signo más/menos se representa por un bit: el bit de mayor peso (aquel que se encuentra más a la izquierda)
• el exponente se codifica utilizando 8 bits inmediatamente después del signo
• la mantisa (los bits después del punto decimal) con los 23 bits restantes 

Aritmética de Puntos Flotantes (Reales)

Aquí todos los números son procesados y almacenados en forma exponencial.

Lo más importante es que los resultados de cualquier operación son normalizados y la mantisa es truncada o redondeada a la cantidad de números especificada.

Ej1: 0.2356 x 10⁴ + 0.4123 x 10⁴ = 0.6479 x 10⁴

Ej2: 0.5544 x 10² + 0.7777 x 10² = 1.3321 x 10², 

Si normalizamos obtenemos entonces, 1.3321 x 10² ≈ 0.13321 x 10³